Diseño Metodológico

VACIADO DE UN CONTENEDOR.

En esta sección se investiga un nuevo problema en el que la ecuación diferencial que describe un proceso se deriva de principios físicos básicos.

Figura 11.2: Investigamos el tiempo que se necesita para vaciar un contenedor lleno de líquido utilizando las técnicas de las ecuaciones diferenciales.

La tasa de vaciado de un contenedor que tiene un pequeño agujero depende de la altura de líquido en el recipiente. Uno puede derivar una ecuación diferencial simple que describe la tasa de que la altura de los cambios de fluidos utilizando el siguiente argumento física:

Conservación de la masa

Supongamos que el recipiente es un cilindro, con una constante de área de la sección transversal A> 0. Supongamos que el área del agujero es (a). La tasa de que las hojas de fluido a través del orificio deben equilibrar con la tasa que el fluido en el recipiente disminuye. Este principio se denomina balance de masa. Aquí Asumiremos que la densidad del agua es constante, por lo que podemos hablar de los cambios netos en el volumen (en lugar de masa). Si nos referimos a V como el volumen de fluido en el recipiente entonces la tasa de cambio de la V es:

dV/dt =  - (volumen tasa de perdida como fluido fluye fuera del agujero).

(El signo negativo indica que el volumen está disminuyendo).

En cada segundo, una cierta cantidad de hojas de fluido a través del orificio. Supongamos que se nos dice que el velocidad de las moléculas de agua que salen del agujero es precisamente v (t). (Vamos a encontrar la manera de determinar esta velocidad en breve.) A continuación, en un segundo, esas partículas se han movido una distancia v · v = 1. De hecho, todas las partículas en un pequeño cilindro de longitud v detrás de estas moléculas también han dejado el agujero. Ciertamente, si conocemos el área del agujero, podemos determinar con precisión qué volumen de agua sale a través de la agujero cada segundo, es decir.

Volumen tasa de perdida como fluido fluye fuera del agujero = va.

(El pequeño recuadro muestra un poco de "unidad cilíndrica" de líquido que sale del agujero por segundo. La área es una y la longitud de ese pequeño volumen es v. Por lo tanto el volumen dejando por segundo es VA.) Hasta ahora tenemos una relación entre el volumen de líquido en el tanque y la velocidad de la agua que sale del agujero.

dV/dt = −av.

Ahora tenemos que determinar la velocidad v del flujo para completar la formulación del problema.

Conservación de energía

El fluido "toma velocidad" porque se ha "disminuido" por una altura h desde la parte superior de la superficie del fluido al agujero. Al hacerlo, una pequeña masa de agua simplemente ha intercambiado algo de energía potencial (debido a su altura relativa por encima del agujero) para la energía cinética (expresada por la rapidez con que se mueve). Potencial energía de una pequeña masa de agua (m) a la altura h será mgh, mientras que cuando el agua fluye del agujero, su energía cinética está dada por (1/2) mv2, donde v es la velocidad. Así, por estos para equilibrar (así que la energía total se conserva) tenemos.

1/2 mv2 = mgh.

Esto nos permite relacionar la velocidad del fluido que sale del agujero a la altura del agua en el tanque, es decir.

v 2 = 2gh

Hemos encontrado que la velocidad del fluido está relacionada con la altura de la columna de agua por la fórmula

 

Poniendo juntos

En el último paso de nuestra derivación, convertimos la declaración acerca de la tasa de cambio a una diferencial ecuación para una única función (desconocido) de tiempo. Está claro que tenemos que escribir todos los términos de las mismas unidades. Esto demuestra conveniente expresar todo en términos de la altura del agua en el tanque, h (t), aunque podríamos optar por escribir la misma ecuación en términos de volumen de líquido en el tanque, V (t).si así se desea. Mantener unidades en una ecuación consistente es esencial. Comprobación de la unidad de la coherencia puede ayudar a descubrir los errores en las ecuaciones, incluyendo ecuaciones diferenciales.

Recordemos que el volumen del agua en el tanque, V (t) está relacionada con la altura de fluido h (t) por.

V (t) = Ah(t),

Donde A> 0 es una constante, el área de sección transversal del tanque. Por lo tanto, podemos simplificar de la siguiente manera:

Donde k es una constante que depende del tamaño y la forma del cilindro y su agujero:

 

Si el área del orificio es muy pequeño en relación con el área de sección transversal del tanque, entonces k será muy pequeño, de modo que el tanque se drenará muy lentamente (es decir, la tasa de cambio en h por unidad de tiempo no lo hará ser grande). En un planeta con una muy alta fuerza de la gravedad, el mismo tanque drenará más rápidamente.

Con el argumento de física por encima del cual combina principios simples, tales como la conservación de masa y conservación de la energía, hemos demostrado que la altura h (t) de agua en el tanque en el tiempo t satisface la siguiente ecuación diferencial:

dh/dt = −k √ h.

Claramente, esta ecuación es válida para las horas no negativas. Ahora vamos a suponer una condición inicial conocida, h (0) = h0 y resolver la ecuación por separación de variables.

Solución de separación de variables

Ahora resolvemos la ecuación con la condición inicial dada:

 

Puesto que esto es cierto para cualquier tiempo t, también podemos escribir la forma de la solución como.

 

La utilidad de este resultado es que nos permite predecir exactamente lo que la altura de líquido permanece en el tanque conforme pasa el tiempo. En particular, podemos saber cuándo el depósito se ha vaciado.

¿Cuánto tiempo se tarda el tanque para vaciar?

El depósito estará vacío cuando h (t) = 0, es decir, cuando.

 

Resolviendo esta ecuación para el tiempo t, obtenemos.

El tiempo que se necesita para vaciar el depósito depende de la altura inicial de agua en el tanque. Pero la nota que la dependencia no es simple proporcionalidad! La duplicación de la altura de líquido en el tanque inicialmente sólo aumenta el tiempo que se tarda en un factor de √2 ≈ 1,41. Cómo hacer el agujero más pequeño tiene un efecto más directo "proporcional", ya que hemos encontrado que k = (a / A)√2g.

Ver Figura 11.3 por tres curvas solución que corresponde a diferentes alturas iniciales de h0= 2,5, 5, 10.

Figura 11.3: curvas solución para tres alturas iniciales diferentes h0 = 2,5, 5, 10. de líquido en el recipiente. El parámetro k = 0,4 en cada caso.